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\noindent \textbf{LOGARITMO} \noindent \textbf{O que é?} \textbf{ }O\textbf{ }logaritmo é a função inversa da exponencial, ou seja, uma cancela a outra, assim como soma e subtração, multiplicação e divisão. Dizer que $log_ax=b$(lê-se ``log de x na base a'') significa que $a^b=x$. \noindent \textbf{Obs.:} O x é chamado de logaritmando. \noindent \textbf{Tome cuidado!} \noindent Da mesma forma que na função exponencial, a base e o logaritmando precisam obedecer certas condições: \begin{enumerate} \item A base do logaritmo sempre deve ser positiva (maior que zero) e diferente de 1; \item O logaritmando deve ser sempre positivo (maior que zero). \end{enumerate} \noindent \textbf{ Propriedades:} \begin{enumerate} \item \textbf{ }${\boldsymbol{a}}^{\boldsymbol{log}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b}}\boldsymbol{=}\boldsymbol{b}\boldsymbol{\ }$\textbf{(propriedade do cancelamento)} \item \textbf{ }$\boldsymbol{log}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{(}b\cdot c)=log_ab+log_ac\ \ \ $\textit{ } \item \textit{ }$log_a\left(\frac{b}{c}\right)\ =log_ab-log_ac\ \ $\textit{} \item \textit{ }${log_ab}^c=c.log_ab\ \ $\textit{} \item \textit{ }$log_ab=log_cb/log_ca$ \textbf{(propriedade conhecida como mudança de base)} \end{enumerate} \noindent \textbf{Casos Particulares} \noindent Para qualquer base, vale: \begin{enumerate} \item $\boldsymbol{log}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{1}\boldsymbol{=}\boldsymbol{0}$\textbf{} \item \textbf{ }$\boldsymbol{log}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{a}\boldsymbol{=}\boldsymbol{1}$\textbf{} \end{enumerate} \noindent \textbf{Bases Especiais\textit{}} \noindent \textbf{Logaritmo neperiano ou Logaritmo natural:} \noindent $ln\ x\ $ representa o logaritmo cuja base é o número de Euler ($e\ \cong \ 2,718$), ou seja, $ln\ x$= $log_ex$. É uma maneira de escrever mais rápido este logaritmo, muito utilizado. A expressão ``ln'' é consequência do nome ``logaritmo natural'' ou ``logaritmo neperiano''. \noindent \textbf{Base 10:} \textbf{ }Assim como o ``ln'', o log na base 10 é muito comum, então normalmente é utilizado apenas ``$log\ x$'' para representar ``$log_{10}x$''. \noindent \noindent \textbf{PARA FIXAR} \begin{enumerate} \item \textbf{ }(UFRGS - 2018) Se $log_3x+log_9x=1$, então o valor de x é \end{enumerate} \noindent a) $\mathrm{\sqrt[3]{}}$2.b) $\mathrm{\sqrt{}}$2.c) $\mathrm{\sqrt[3]{}}$3.d) $\mathrm{\sqrt{}}$3.e) $\mathrm{\sqrt[3]{}}$9. \noindent \noindent \textbf{Resolução:} \noindent Como temos a soma de dois logaritmos com bases diferentes, precisaremos fazer uma mudança de base. Para facilitar será trocada o log de base 9 para base 3, assim: \[log_9x=\frac{log_3x}{log_39}\Rightarrow log_9x=\frac{log_3x}{log_33^2}\Rightarrow log_9x=\frac{log_3x}{2.log_33}\Rightarrow log_9x=\frac{log_3x}{2}\] Substituindo na equação, temos: \[log_3x+\frac{log_3x}{2}=1\] \[\frac{3log_3x}{2}=1\] \[log_3x=\frac{2}{3}\] \[x=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}\] \textbf{Resposta: letra e.} \noindent \begin{enumerate} \item Determine o valor de: \end{enumerate} \noindent a)~$log_{\sqrt{2}}4$ \noindent b)~$log_{\sqrt[3]{4}}2$ \noindent c)~$log_7\sqrt[5]{7^2}$ \noindent \noindent \textbf{Resolução:} \noindent Para cancelarmos um log é necessário igualar sua base ao seu logaritmando, pois $log_aa=1.$Temos então: \noindent a) $log_{\sqrt{2}}4=log_{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\ }^4=4log_{\sqrt{2}}\sqrt{2}=4$ \noindent b) $log_{\sqrt[3]{4}}2=log_{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}^{\ \frac{3}{2}}=\frac{3}{2}log_{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}=\frac{3}{2}}$ \noindent c) $log_7\sqrt[5]{7^2}=log_77^{2/5}=\frac{2}{5}log_77=\frac{2}{5}$ \noindent Portanto, $\boldsymbol{lo}{\boldsymbol{g}}_{\sqrt{\boldsymbol{2}}}\boldsymbol{4}\boldsymbol{=}\boldsymbol{4}\boldsymbol{;}\boldsymbol{\ }\boldsymbol{lo}{\boldsymbol{g}}_{\sqrt[{\boldsymbol{3}}]{\boldsymbol{4}}}\boldsymbol{2}\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{3}}{\boldsymbol{2}}\boldsymbol{\ }\boldsymbol{e}\boldsymbol{\ }\boldsymbol{lo}{\boldsymbol{g}}_{\boldsymbol{7}}\sqrt[{\boldsymbol{5}}]{{\boldsymbol{7}}^{\boldsymbol{2}}}\boldsymbol{=}\frac{\boldsymbol{2}}{\boldsymbol{5}}$\textbf{} \noindent \begin{enumerate} \item (Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R\$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R\$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula\textbf{} \[P=\frac{5000\times 1,013^n\times 0,013}{(1,013^n-1)}\] \end{enumerate} Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335. \noindent De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é \noindent a) 12.b) 14.c) 15.d) 16.e) 17. \noindent \textbf{} \noindent \textbf{Resolução:} \noindent Como o valor máximo que a pessoa poderá pagar é R\$ 400,00, temos que: \[P\le 400\Rightarrow \frac{5000\times 1,013^n\times 0,013}{(1,013^n-1)}\le 400\] \[65\times 1,013^n\le 400(1,013^n-1)\] \[65\times 1,013^n\le 400\times 1,013^n-400\] \[400\le 400\times 1,013^n-65\times 1,013^n\] \[400\le 335\times 1,013^n\] Aplicando log nos dois lados temos: \[log\ 400\le log\ (335\times 1,013^n)\] \[log\ 400\le log\ 335+log\ 1,013^n\] \[log\ 400\le log\ 335+n\times log\ 1,013\] Substituindo o valor dos logs dados no problema: \[2,602\le 2,525+0,005n\] Basta então apenas isolar n: \[0,077\le 0,005n\] \[n\ge \frac{0,077}{0,005}\] \[n\ge 15,4\] Portanto, o número menor de parcelas terá que ser \textbf{16}, visto que n tem que ser inteiro e maior que 15,4. \noindent \noindent \textbf{Resposta: letra d.} \begin{enumerate} \item \textbf{ }(UFRGS - 2017) Se ${log}_{5\ }x=2$ e ${log}_{10\ }y=4$, então ${log}_{20\ }y/x$é:\textbf{} \end{enumerate} \noindent a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10 \noindent \textbf{} \noindent \textbf{Resolução:} \noindent Usando a definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de x e de y: \[x=2\ \Longrightarrow \ x=5^2\ \Longrightarrow \ x=25\ \] \[y=4\ \Longrightarrow \ y={10}^4\ \Longrightarrow \ y=10000\ \] Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos: \[k=log_{20}\frac{10000}{25}\] \[k=log_{20}400\] \[k=log_{20}20^2\] \[k=2.log_{20}20\] \[k=2\] \noindent Portanto, se $log_5x=2$ e $log_{10}y=4$, então log20~y/x é 2. \noindent \textbf{} \begin{enumerate} \item \textbf{ }(UERJ - 2016) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para \textbf{} \[10\mathrm{\wedge }\mathrm{\{}n-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash le\ x\backslash le10\mathrm{\wedge }\mathrm{\{}n+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\] \end{enumerate} Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que $log_{10}E=15,3$. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a: \noindent a)$10^{14}$b) $10^{15}$c) $10^{16}$d) $10^{17}$ \noindent \textbf{} \noindent \textbf{Resolução:} \noindent Aplicando a definição de logaritmo, temos que: \[log_{10}E=15,3\] \[E=10^{15,3}\] \noindent Como 15,3 está entre 14,5 e 15,5, ou seja: \[10^{15-\frac{1}{2}}\le 10^{15,3}\le 10^{15+\frac{1}{2}}\] Então podemos concluir que a ordem de grandeza de E, em joules, equivale a $10^{15}$ \noindent \noindent \textbf{Resposta: letra b} \noindent \textbf{} \noindent \end{document}
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